LUAS SEGITIGA DENGAN TRIGONOMETRI, ATURAN SINUS DAN ATURAN COSINUS

 Ruben Valentino Hasibuan/24/X MIPA 1

Luas Segitiga Dengan Aturan Trigonometri

Sebagaimana telah kita pelajari bahwa luas suatu segitiga dapat diperoleh dengan mengalikan alas dan tinggi dari segitiga tersebut dan kemudian membaginya dengan 2, atau dapat dituliskan sebagai

Selain menggunakan rumus di atas, luas segitiga tersebut juga dapat diperoleh dengan menggunakan rumus aturan trigonometri. Untuk penjelasannya, amatilah segitiga ABC berikut!

 Gambar 1. Segitiga ABC dengan sudut dan sisi-sisinya

Perhatikan bahwa segitiga ABC pada Gambar 1 terbagi lagi menjadi dua segitiga yakni 

ΔADC dan ΔBDC. Pada ΔADC, kita peroleh

Dengan Demikian,

Jadi, luas  LΔABC dapat dinyatakan sebagai

Dengan cara yang sama, untuk setiap segitiga ABC juga berlaku:

Contoh 1:

 

Tentukan luas segitiga ABC pada Gambar 1 di atas jika diketahui sisi BC=4 cm, AC=7√3 cm dan ∠C=60 °.

Pembahasan:

Diketahui

BC =a =4 cm;

AC=b=7√3 dan ∠C=60 °. Dengan demikian, kita peroleh

Contoh 2:

Sebuah segitiga ABC diketahui luasnya 18 cm2. Jika panjang sisi BC=4 cm dan AB=6√3 cm, maka tentukanlah besar sudut B.

Pembahasan:

Diketahui luas segitiga = 18, BC=a=4; dan AB=c=6√3. Dengan demikian, kita peroleh

Luas Segitiga Jika Hanya Diketahui Panjang Ketiga Sisinya

Dari Gambar 1, jika diketahui hanya nilai ketiga sisinya maka luas segitiga ABC dapat juga ditentukan dengan rumus berikut.

di mana: S=1/2(a+b+c)S=12(a+b+c).

Bukti:

 Menurut identitas trigonometri diketahui bahwa

Jika persamaan (2) disubstitusikan ke (1) maka diperoleh:

di mana: S=1/2(a+b+c)S=12(a+b+c).

Contoh 3:

 Hitunglah luas segitiga ABC jika diketahui panjang sisi-sisinya a = 16 cm, b = 14 cm, dan c = 10 cm!

 Pembahasan:

 Pertama, kita hitung

Sehingga luas segitiga ABC adalah

Jadi, luas segitiga ABC adalah 40√3 cm2

Aturan Sinus dan Cosinus: Rumus & Contoh Soal

Aturan Sinus

Aturan sinus berbunyi bahwa perbandingan panjang sisi sebuah segitiga dengan sinus sudut yang menghadapnya memiliki nilai yang sama.

 Lebih jelasnya pada gambar dibawah ini

Keterangan

 

A = besar sudut di hadapan sisi a

a = panjang sisi a

B = besar sudut di hadapan sisi b

b = panjang sisi b

C = besar sudut di hadapan sisi c

c = panjang sisi c

AP ┴ BC

BQ ┴ AC

CR ┴ AB

Perhatikan segitiga ACR

Sin A = CR/b  maka CR = b sin A …(1)

Perhatikan segitiga BCR

Sin B = CR/a  maka CR = a sin B …. (2)

Perhatikan segitiga ABP

Sin B = AP/c  maka AP = c sin B … (3)

Perhatikan segitiga APC

Sin C = AP/b  maka AP = b sin C …(4)

Berdasarkan persamaan (1) dan (2) didapat

CR = b sin A = a sin B maka a/sin A = b/sin B …(5)

Berdasarkan persamaan (3) dan (4) didapat

AP = c sin B = b sin C maka b/sin B = c/sin C …(6)

Kemudian, berdasarkan persamaan (5) dan (6) diperoleh

 a/sin A = b/sin B = c/sin C

Persamaan ini yang kemudian disebut dengan aturan sinus.

Contoh Soal Aturan Sinus

1. Andi sedang mengukur mainan segitiganya yang tiap sudutnya dikodekan dengan A, B, dan C, kemudian diketahui segitiga tersebut memiliki sudut A = 30º, sisi a = 6cm dan sisi b = 8cm. Hitung besar sudut B!

 Pembahasan

Akan dicari besar sudut B sin B = (b sin A)/a 

sin B = 8/6 sin 30̊

sin B = 2/3

B = arc sin B

B = arc sin (2/3)

B = 41,8̊

Jadi, besar sudut B adalah 41,8̊ atau 180̊ – 41,8̊ = 138,2̊

2. Sebuah segitiga ABC memiliki panjang AC = 4 cm. Jika besar ∠ ABC = 60o dan ∠BAC = 30o, maka panjang BC = … cm.

Pembahasan

AC/sin ∠ABC = BC/sin∠BAC

4cm/sin 60 = BC/sin30

4cm/½√3 = BC/½

BC = ½ × 4cm/½√3

BC = 4cm/√3

BC = 4/3 √3 cm

Jadi, panjang BC adalah BC4/3 √3cm.

Aturan Cosinus

Aturan cosinus menjelaskan hubungan antara kuadrat panjang sisi dengan nilai cosinus dari salah satu sudut pada segitiga.

 Lebih jelasnya pada gambar dibawah ini.

Keterangan

 

A = besar sudut di hadapan sisi a

a = panjang sisi a

B = besar sudut di hadapan sisi b

b = panjang sisi b

C = besar sudut di hadapan sisi c

c = panjang sisi c

AP ┴ BC

BQ ┴ AC

CR ┴ AB

Perhatikan segitiga BCR

Sin B = CR/a maka CR = a sin B

Cos B = BR/a maka BR = a cos B

AR = AB – BR = c – a cos B

Perhatikan segitiga ACR

b2  = AR2 + CR2

b2  = (c – a cos B)2 + (a sin B)2

b2  = c2 – 2ac cos B + a2 cos2 B + a2 sin2 B

b2  = c2 – 2ac cos B + a2 (cos2 B + sin2 B)

b2  = c2 + a2– 2ac cos B

Menggunakan analogi yang sama, kemudian diperoleh aturan cosinus untuk segitiga ABC sebagai berikut

a2 = c2 + b2– 2bc cos A

b2 = a2+ c2 – 2ac cos B

c2 = a2+ b2 – 2ab cos C

Contoh Soal Aturan Cosinus

Diketahui sebuah segitiga ABC memiliki sisi dengan panjang

a = 10 cm

c = 12 cm

besar sudut B = 60̊.

Hitung panjang sisi b!

Pembahasan

b2 = a2+ c2 – 2ac cos B

b2 = 100+144 – 44 cos 60̊

b2 = 244 – 44(0,5)

b2 = 244 – 22

b2 = 222

b = 14,8997

Jadi, panjang sisi b adalah 14,8997 cm

Daftar Pustaka :

-https://jagostat.com/matematika-dasar/luas-segitiga-dengan-aturan-trigonometri

-https://rumuspintar.com/aturan-sinus-cosinus/