LUAS SEGI-n BERATURAN, JARI-JARI LINGKARAN LUAR DAN LINGKARAN DALAM SEGITIGA, GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN LUAR/DALAM LINGKARAN

 Ruben Valentino H/24/X MIPA 1

Luas Bangun Segi n Beraturan

Seperti yang telah saya jelaskan di atas bahwa segi n beraturan dapat dihitung luasnya menggunakan konsep luas segitiga dengan sinus. Apabila dinyatakan dalam bentuk persamaan akan menjadi seperti di bawah ini:

 Luas segitiga = ½ . r . r . sin θ = ½ r² sin 360°/n

 Dari persamaan tersebut dapat diperoleh rumus luas segi n beraturan seperti berikut ini:

 Luas segi n = n x Luas segitiga

Luas segi n = n/2 r² sin 360°/n

Contoh Soal Segi n Beraturan

Setelah menjelaskan tentang rumus luas segi n beraturan dan rumus keliling segi n beraturan di atas. Selanjutnya saya akan membagikan contoh soal luas segi n beraturan dan contoh soal keliling segi n beraturan terkait rumus tersebut. Berikut contoh soal dan pembahasannya:

 Tentukan luas segi 12 beraturan yang jari jari lingkaran luarnya memiliki panjang 9 cm?

 Pembahasan.

Diketahui : r = 9 cm; n = 12

Ditanyakan : Luas = ?

Jawab :

Untuk menyelesaikan contoh soal tersebut dapat dilakukan dengan rumus seperti di bawah ini:

Luas = n/2 r² sin 360º/n

          = 12/2 x 9² x sin 360º/12

          = 6 x 81 x sin 30º

          = 6 x 81 x ½

          = 243 cm²

Jadi luas segi 12 beraturan tersebut ialah 243 cm².

Lingkaran Dalam Segitiga

Jari-Jari Lingkaran Dalam

Perhatikan gambar di atas, jari-jari lingkarang yang akan kita cari adalah OE = OF = OD. Ketiganya sama dengan tinggi dari segitiga 1, 2 da 3.

Luas Segitiga Besar = Luas ΔI + Luas ΔII + Luas ΔIII

——————-  = 1/2 (AB x OD) + 1/2 ( CB x OE) + 1/2 (AC x OF)

——————-  = 1/2 (AB x r) + 1/2 (CB x r) + 1/2 (AC x r)

——————-  = 1/2 r (AB + CB + C)

——————-  = 1/2. r. Keliling Segitiga (setengah keliling bisa dilambangkan dengan s?)

——————-  = r. S

Jadi

L = r . S

r = L/S

jadi, jari-jari lingkaran dalam dapat dicari dengan membagi luas segitiga dengan 1/2 kelilingnya. Sekarang yang menjadi masalah adalah bagaimana mencari luas segitiganya? Karena segitiga di atas adalah segitiga sembarang sobat bisa menggunakan rumus

Jadi rumus jari-jari lingkaran dalam menjadi:


dengan

L = Luas Segitiga

S = 1/2 keliling Δ = 1/2 (a+b+c)

Lingkaran Luar Segitiga 

Pada gambar diatas, terdapat sebuah segitiga ABC dengan dengan sisi a,b, dan c. Ada lingkaran luar yang berpusat di titik O yang mengitari segitiga tersebut. OA, OB, OC. dan OD masing-masing adalah jari-jari lingkaran luar yang akan kita cari rumusnya. Untuk membantu menemukan rumus jari-jari, kita memakai garis bantu yaitu garis tinggi segitiga CT dan garis diameter yang ditarik dari titik C (garis CD).

Coba sobat perhatikan ΔCAD dengan ΔCTB

∠CAD = ∠CTB = 90o (ingat sifat sudut keliling yang menghadap diameter sama dengan 90º)

∠ADC = ∠TBC (ingat bahwa dua sudut keliling yang menghadap busur lingkaran yang sama adalah sama besar)

 

Karena ada dua pasang sudut yang sama maka bisa disimpulkan bahwa ΔCAD dan ΔCTB sebagung (kongruen). Karena sebangun maka perbandingan sisi-sisinya akan sama.

BC/CD = CT/AC

CD (diameter) = BC x AC / CT

CD (diameter) = a x b / CT……. (persamaan 1)

Nilai CT bisa kita cari dengan persamaan Luas

Luas ΔABC = 1/2 AB x CT

2 Luas ΔABC = AB x CT

CT = 2 Luas ΔABC / AB

CT = 2L/ c……..(persamaan 2)

Kita masukkan persamaan 2 ke persamaan 1

CD = a x b / CT

CD = a x b / (2L/c)

CD = a x b x c / 2L

Jari-jari = 1/2 CD

r = 1/2 CD = a x b x c / 4L

a,b,dan c = sisi-sisi segitiga
L = luas segitiga

Garis Singgung Lingkaran pada Persekutuan 2 Lingkaran

1.Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Lingkaran

Dua buah lingkaran yang berpusat pada titik O dan P memiliki panjang jari-jari yang berbeda. Panjang jari-jari lingkaran dengan pusat O adalah R, sedangkan panjang jari-jari lingkaran dengan pusat P adalah r. Jarak kedua pusat pada dua lingkaran tersebut adalah OP. Terdapat sebuag garis yang menyinggung kedua lingkaran yaitu garis AB.

Gambar di bawah menunjukkan letak garis AB yang merupakan garis singgung lingkaran pada persekutuan luar dari dua lingkaran.

Garis singgung lingkaran

Garis AB adalah garis singgung lingkaran pada persekutuan luar dua lingkaran. Perhatikan bahwa panjang AB sama dengan panjang PP’. Sehingga dengan menghitung panjang PP’ secara otomatis dapat mengetahui panjang ruas garis AB. Di mana, garis AB merupakan garis singgung persekutuan luar dua lingkaran.

Segitiga PP’O merupakan segitiga siku-siku yang siku-siku di P’. Hubungan ketiga sisi pada segitiga siku-siku memenuhi persamaan pada rumus Pythagoras. Sehingga dapat diperoleh persamaan P’P2 = OP2 ‒ P’O2 dengan P’O = OA ‒ BP = R ‒ r. Atau persamaan dapat juga dibentuk dalam bentuk P’P2 = OP2 ‒ (R ‒ r)2.

Dengan demikian panjang garis singgung lingkaran pada persekutuan luar pada dua lingkaran dapat diperoleh melalui rumus garis singgung persekutuan luar berikut.


Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran

Garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran juga melibatkan dua buah lingkaran dan sebuah garis singgung, sama seperti pada garis singgung persekutuan luar. Bedanya terletak pada posisi garis singgung lingkaran. Dua titik pada garis singgung persekutuan luar dua lingkaran terletak di sisi yang sama. Sedangkan pada garis singggung persekutuan dalam, dua titik singgung terletak pada sisi yang bersebrangan.

Gambar di bawah menunjukkan posisi garis singgung lingkaran pada persekutuan dalam yang menyinggung dua buah lingkaran.


Garis singgung lingkaran
 

Perhatikan bahwa segitiga PP’O merupakan segitiga siku-siku yang siku-siku di P’. Hubungan antara P’O, P’P, dan OP dapat sesuai pada rumus Pythagoras yaitu P’P2 = OP2‒ P’O2. Karena PO’ = OA + BP = R + r maka bentuk persamaan dapat juga dinyatakan dalam P’P2 = OP2‒ (R + r)2

Sehingga, rumus garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran dapat dinyatakan dalam rumus di bawah.

Contoh Soal Garis Singgung Persekutuan Dua Lingkaran dan Pembahasan

Beberapa contoh soal di bawah dapat sobat idschool gunakan untuk menambah pemahaman terkait bahasan di atas. Setiap soal yang diberikan dilengkapi dengan pembahasannya. Sobat idschool dapat menggunakan pembahasan tersebut sebagai tolak ukur keberhasilan mengerjakan soal. Selamat Berlatih!

Contoh 1 – Soal Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Lingkaran

Dua buah lingkaran memiliki panjang garis singgung persekutuan luar 24 cm dan jarak kedua titik pusat lingkaran 26 cm. Jika panjang jari-jari lingkaran besar 18 cm, maka panjang jari-jari lingkaran yang lain adalah ….
A. 6 cm
B. 8 cm
C. 9 cm
D. 10 cm
 
Pembahasan:

Berdasarkan data pada soal, kita dapat peroleh gambar di bawah.

 
garis singgung lingkaran persekutuan luar
 

Diketahui bahawa,

  • Garis singgung persekutuan luar dua lingkaran: AB = 24 cm
  • Jarak keuda pusat lingkaran: OP = 26 cm
  • Panjang jari-jari lingkaran besar: OA = 18 cm
  • Panjang jari-jari lingkaran kecil: OB = r

Menghitung panjang garis singgung AB:

AB2 = OP2 ‒ (OA ‒ r)2
242 = 262 ‒ (18 ‒ r)2
676 = 576 ‒ ( 18 ‒ r)2
(18 ‒ r)2 = 676 ‒ 576
(18 ‒ r)2 = 100
18 ‒ r = 10
‒r = 10 ‒ 18
‒r = ‒8 → r = 8 cm

Jadi, panjang jari-jari lingkaran yang lain adalah 8 cm.

Jawaban: D

Contoh 2 – Soal Garis Singgung Persekutuan Dua Lingkaran

Perhatikan gambar berikut!


 
garis singgung lingkaran dalam
 

Panjang jari-jari lingkaran besar dan kecil berturut-turut adalah 10 cm dan 5 cm. Jarak kedua pusat lingkaran adalah 25 cm. Panjang garis singgung AB adalah ….
A. 12 cm
B. 15 cm
C. 17 cm
D. 20 cm

Pembahasan:

Berdasarkan keterangan yang diberikan pada soal dapat diperoleh informasi-informasi seperti berikut.

  • Panjang jari-jari lingkaran besar: R = 10 cm
  • Panjang jari-jari lingkaran kecil: r = 5 cm
  • Jarak kedua pusat lingkaran: OP = 25 cm

Menghutng panjang garis singgung AB:
AB2 = OP2 ‒ PC2
AB2 = OP2 ‒ ( R + r )2
= 252 ‒ ( 10 + 5)2
= 625 ‒ 225
AB2 = 400
AB = √400 = 20 cm

Jadi, panjang garis singgung AB adalah 20 cm.

Jawaban: D

Daftar Pustaka :

-https://rumushitung.com/2014/12/22/rumus-jari-jari-lingkaran-dalam-dan-lingkaran-luar-segitiga/

-http://www.antotunggal.com/2021/10/contoh-rumus-luas-segi-n.html

-https://idschool.net/smp/garis-singgung-lingkaran/

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Jawaban PTS Math Ganjil Kelas X

Ruben Valentino Hasibuan/24/ X IPA 1  1.|2x-7| = 3 2x - 7 = 3       ,      2x - 7 = -3 x = 5               ,    x = 2 2. | 2x - 1 | = | x + 4 | (2x-1)² = (x+4)² (2x-1)² - (x+4)² = 0 (2x-1 + x+4)(2x-1 - (x+4)) = 0 (3x + 3)(x - 5) = 0 3x + 3 = 0   atau x - 5 = 0 3x = -3                     x = 5 x = -3 : 3 x = -1 3. | x + 7 / 2x - 1 | = 2 x + 7 / 2x -1 = 2   ,   x + 7 / 2x - 1 = -2 x = 3  ,  x = -1 4. 2 | -2x -2 | -3 = 13 2 |-2x -2 | = 13 + 3 | -2x -2 | = 16/2 | -2x -2 | = 8 -2x -2 = 8  ,  -2x -2 = -8 x = -5  ,  x = 3 5. | 4x + 2 |  ≥ 6 4x + 2 ≥ 6  ,  4x + 2 ≤ -6 x ≥ 1  , x ≤ -2 6.   |3x+2|²+|3x+2|-2=0 p² + p – 2 = 0 (p+2)(p-1)  = 0 p + 2 = 0 p = -2   (nilai mutlak tidak negatif ) atau p-1 = 0 p = 1 |3x + 2| = 1 => 3x + 2 = 1 3x = 1 - 2 3x = -1 x  = -1/3 ...
Baca selengkapnya

SOAL DAN PEMBAHASAN FUNGSI TRIGONOMETRI

Gambar
Ruben Valentino H/24/X MIPA 1   1. Perhatikan gambar berikut! Gambar di atas mempunyai persamaan ... a. y = cos x b. y = 3 cos x c. y = cos 3x d. y = 3 sin x e. y = sin 3x Jawab : Grafik di atas adalah grafik cosinus. Bentuk umum fungsinya adalah y = k . cos a (x ± α) k = 3 Maka persamaan yang memenuhi grafik di atas adalah y = 3 cos x Jawaban yang tepat B. 2. perhatikan grafik berikut! Persamaan dari grafik di atas adalah... a. y = -sin x b. y = -cos x c. y = 1 – cos x d. y = sin x + 1 e. y = -sinx – 1 Jawab : Grafik di atas adalah grafik sinus. Bentuk umum fungsinya adalah y = k . sin a (x ± α) k = -1 Maka persamaan yang memenuhi grafik di atas adalah y = -sin x Jawaban yang tepat A. 3. Nilai maksimum dari fungsi y = 2 sin (x +  60 0 ) + 1 adalah... a. 3 b. 2 c. 0 d. -2 e. -1 Jawab : y = 2 sin (x +  60 0 ) + 1 y = 2 (1) + 1 = 3 (nilai maksimum) y = 2 (-1) + 1 = -1 (nilai minimum) Jawaban yang tepat A. 4. Nilai minimum dari fung...
Baca selengkapnya

FUNGSI TRIGONOMETRI DAN BEBERAPA CONTOH SOALNYA

Gambar
  Ruben Valentino H/24/X MIPA 1 Pengertian Fungsi Trigonometri Fungsi trigonometri merupakan fungsi yang menggunakan trigonometri.  kita ketahui bahwa fungsi terdiri dari fungsi alajabar dan juga fungsi trigonometri. Dalam fungsi trigonometri ini kita tentu menggunakan aturan-aturan trigonometri. seperti aturan sin, cos dan tan. semua itu akan di bahas pada materi ini. Jenis-jenis fungsi trigonometri Persamaan Trigonometri Berikut adalah rumus dari persamaan trigonometri: Sumber: Dokumentasi penulis Tabel Trigonometri Berikut adalah tabel trigonometri pada kuadran I Sumber: Dokumentasi penulis Berikut adalah tabel tabel trigonometri pada kuadran II Sumber: Dokumentasi penulis Berikut adalah tabel tabel trigonometri pada kuadran III Sumber: Dokumentasi penulis Berikut adalah tabel tabel trigonometri pada kuadran IV Sumber: Dokumentasi penulis Hal-hal yang perlu diperhatikan dalam fungsi trigonometri diantaranya: Sumber: Dokumentasi penulis Rumus dasar trigonometri sin 2  A...
Baca selengkapnya