KOORDINAT KUTUB DAN KOORDINAT KARTESIUS

 Ruben Valentino Hasibuan/24/X MIPA 1

Hubungan koordinat kutub dan koordinat cartesius

       Koordinat kutub merupakan koordinat yang ada pada cartesius yang terletak pada suatu lingkaran x2+y2=r2x2+y2=r2 , sehingga koordinat kutub ditulis berdasarkan jari-jari lingkaran (rr) dan sudut yang dibentuk terhadap sumbu X positif.

Misalkan koordinat cartesius titik A adalah (x,yx,y), dan koordinat kutub titik A adalah (r,αr,α), hubungan kedua titik adalah :

                         x=rcosα,x=rcos⁡α, dan y=rsinαy=rsin⁡α .

 

*). Berikut ilustrasi gambarnya

 

 

-Langkah-langkah mengubah koordinat menjadi koordinat cartesius :

Langsung gunakan hubungan : x=r cos α,x=rcos⁡α, dan y=r sin αy = r sin ⁡α

- Langkah-langkah mengubah koordinat cartesius menjadi koordinat kutub :

(i). Menentukan jari-jari (rr) dengan pythagoras r2=x2+y2r2=x2+y2

(ii). Menentukan besar sudut dengan salah satu rumus :

sin α= y rsin ⁡α=yr atau cos α=

xr,cos⁡α=xr, atau tanα=yxtan⁡α=yx

(iii). Untuk kuadrannya, ada empat kemungkinan :

1. xx positif dan yy positif , ada di kuadran I,

2. xx negatif dan yy positif , ada di kuadran II,

3. xx negatif dan yy negatif , ada di kuadran III,

4. xx positif dan yy negatif , ada di kuadran IV

Contoh :

1). Nyatakan koordinat kutub titik A(8,30∘8,30∘) ke dalam koordinat cartesius!

Penyelesaian :

*). Diketahui titik A(r,α)=(8,30∘A(r,α)=(8,30∘

artinya r=8r=8 dan α=30∘α=30∘

*). Menentukan koordinat cartesiusnya :

x=rcosα=8cos30∘=8.123–√=43–√x=rcos⁡α=8cos⁡30∘=8.123=43

y=rsinα=8sin30∘=8.12=4y=rsin⁡α=8sin⁡30∘=8.12=4

Jadi, koordinat cartesiusnya adalah A(43–√,4)A(43,4)

 

2). Nyatakan koordinat cartesisu berikut kedalam koordinat kutub :

a). titik B(3,33–√3,33)

b). titik C(−3–√,1−3,1)

Penyelesaian :

a). titik B(3,33–√3,33)

artinya x=3,x=3, dan y=33–√y=33

*). Menentukan jari-jari (rr) :

r=x2+y2−−−−−−√=32+(33–√)2−−−−−−−−−−√=9+27−−−−−√=36−−√=6r=x2+y2=32+(33)2=9+27=36=6

*). Menentukan sudut dengan rumus : cosα=xrcos⁡α=xr

cosα=xr→cosα=36→cosα=12→α=60∘cos⁡α=xr→cos⁡α=36→cos⁡α=12→α=60∘

Karena nilai xx positif dan yy positif, maka titik B ada di kuadran I dengan sudut 60∘60∘

Jadi, koordinat kutubnya adalah B(6,60∘)B(6,60∘) .

 

b). titik C(−3–√,1−3,1)

artinya x=−3–√,x=−3, dan y=1y=1

*). Menentukan jari-jari (rr) :

r=x2+y2−−−−−−√=(−3–√)2+(1)2−−−−−−−−−−−−√=3+1−−−−√=4–√=2r=x2+y2=(−3)2+(1)2=3+1=4=2

*). Menentukan sudut dengan rumus : sinα=yrsin⁡α=yr

sinα=yr→sinα=12→α=30∘sin⁡α=yr→sin⁡α=12→α=30∘

Karena nilai xx negatif dan yy positif, maka titik C ada di kuadran II ,

Sehingga sudutnya : 180∘−30∘=150∘180∘−30∘=150∘

Jadi, koordinat kutubnya adalah C(2,150∘)C(2,150∘) .

 

Jarak dua titik koordinat kutub

       Untuk menghitung jarak dua titik koordinat kutub, caranya menggunakan jarak dua titik pada koordinat cartesius. Artinya kita harus mengubah dulu koordinat kutub menjadi koordinat cartesius. Untuk jarak dua titik koordinat cartesius, silahkan baca materi "Jarak Dua Titik dan Titik ke Garis".

 

Menentukan jarak titik A(r1,θ1r1,θ1) dan titik B(r2,θ2r2,θ2) ,

*). Koordinat cartesiusnya adalah :

A(r1,θ1)→x1=r1cosθ1,y1=r1sinθ1→A(r1cosθ1,r1sinθ1)A(r1,θ1)→x1=r1cos⁡θ1,y1=r1sin⁡θ1→A(r1cos⁡θ1,r1sin⁡θ1)

B(r2,θ2)→x2=r2cosθ2,y2=r2sinθ2→A(r2cosθ2,r2sinθ2)B(r2,θ2)→x2=r2cos⁡θ2,y2=r2sin⁡θ2→A(r2cos⁡θ2,r2sin⁡θ2)

*). Jarak titik A(x1,y1x1,y1) dan titik B(x2,y2x2,y2) :

jarak =(x2−x1)2+(y2−y1)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=(r2cosθ2−r1cosθ1)2+(r2sinθ2−r1sinθ1)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=r21+r22−2r1.r2.cos(θ2−θ1)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√jarak =(x2−x1)2+(y2−y1)2=(r2cos⁡θ2−r1cos⁡θ1)2+(r2sin⁡θ2−r1sin⁡θ1)2=r12+r22−2r1.r2.cos⁡(θ2−θ1)

Sehingga jarak titik A(r1,θ1r1,θ1) dan titik B(r2,θ2r2,θ2) adalah

jarak =r21+r22−2r1.r2.cos(θ2−θ1)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√jarak =r12+r22−2r1.r2.cos⁡(θ2−θ1)

Contoh :

3). Tentukan jarak titik A(3,160∘3,160∘) dan titik B(4,100∘4,100∘)!

Penyelesaian :

*). Diketahui titik-titik

A(r1,θ1)=(3,160∘)A(r1,θ1)=(3,160∘) dan B(r2,θ2)=(4,100∘)B(r2,θ2)=(4,100∘)

*). Jarak kedua titik adalah :

jarak =r21+r22−2r1.r2.cos(θ2−θ1)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=32+42−2.3.4.cos(160∘−100∘)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=9+16−24.cos60∘−−−−−−−−−−−−−−−√=25−24.12−−−−−−−−√=25−12−−−−−−√=13−−√jarak =r12+r22−2r1.r2.cos⁡(θ2−θ1)=32+42−2.3.4.cos⁡(160∘−100∘)=9+16−24.cos⁡60∘=25−24.12=25−12=13

Jadi, jarak kedua titik adalah 13−−√13 satuan panjang.

 

Pembuktian rumus jarak dua titik koordinat kutub :

*). Gunakan beberapa persamaan :

identitas trigonometri : sin2A+cos2A=1sin2⁡A+cos2⁡A=1

Rumus selisih sudut : cos(A−B)=cosAcosB+sinAsinBcos⁡(A−B)=cos⁡Acos⁡B+sin⁡Asin⁡B

*). Pembuktian rumusnya :

jarak jarak 2jarak 2jarak 2jarak 2jarak 2jarak 2jarak =(x2−x1)2+(y2−y1)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=(x2−x1)2+(y2−y1)2=(r2cosθ2−r1cosθ1)2+(r2sinθ2−r1sinθ1)2=(r22cos2θ2−2r1r2cosθ2cosθ1+r21cos2θ1)+(r22sin2θ2−2r1r2sinθ2sinθ1+r21sin2θ1)=r22(sin2θ2+cos2θ2)+r21(sin2θ1+cos2θ1)−2r1r2(cosθ2cosθ1+sinθ2sinθ1)=r22.(1)+r21.(1)−2r1r2(cos(θ2−θ1))=r21+r22−2r1.r2.cos(θ2−θ1)=r21+r22−2r1.r2.cos(θ2−θ1)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√jarak =(x2−x1)2+(y2−y1)2jarak 2=(x2−x1)2+(y2−y1)2jarak 2=(r2cos⁡θ2−r1cos⁡θ1)2+(r2sin⁡θ2−r1sin⁡θ1)2jarak 2=(r22cos2⁡θ2−2r1r2cos⁡θ2cos⁡θ1+r12cos2⁡θ1)+(r22sin2⁡θ2−2r1r2sin⁡θ2sin⁡θ1+r12sin2⁡θ1)jarak 2=r22(sin2⁡θ2+cos2⁡θ2)+r12(sin2⁡θ1+cos2⁡θ1)−2r1r2(cos⁡θ2cos⁡θ1+sin⁡θ2sin⁡θ1)jarak 2=r22.(1)+r12.(1)−2r1r2(cos⁡(θ2−θ1))jarak 2=r12+r22−2r1.r2.cos⁡(θ2−θ1)jarak =r12+r22−2r1.r2.cos⁡(θ2−θ1)

Jadi, jaraknya adalah jarak =r21+r22−2r1.r2.cos(θ2−θ1)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√

Daftar Pustaka:

https://www.konsep-matematika.com/2015/11/koordinat-kutub-dan-koordinat-cartesius-pada-trigonometri.html