Materi Persamaan Nilai Mutlak

 Secara geometri, nilai mutlak suatu bilangan adalah jarak antara bilangan itu dengan bilangan nol pada garis bilangan real. Dengan demikian, tidak mungkin nilai mutlak suatu bilangan bernilai negatif, tetapi mungkin saja berinlai nol.

Simbol untuk nilai mutlak yaitu dua garis lurus ( | | ), sekitarnya jumlah atau ekspresi yang mengindikasikan nilai mutlak.

Notasi	Keterangan
| 4 | = 4	nilai absolut dari 4 adalah 4
| -6 | = 6	nilai absolut dari negatif 6 adalah 6
| -8 – x |	nilai absolut dari negatif 8 dikurangi x
– | x |	nilai negatif dari nilai absolut dari x

Sifat - Sifat  Nilai Mutlak

Persamaan Nilai Mutlak

Pertidaksamaan Nilai mutlak

Contoh Soal :

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari |2x - 7| = 3

Jawab:

Berdasarkan sifat 2 :

|2x - 7| = 3 ⇔  2x - 7 = 3  atau  2x - 7 = -3
|2x - 7| = 3  ⇔  2x = 10  atau  2x = 4
|2x - 7| = 3  ⇔  x = 5  atau  x = 2

Jadi, HP = {2,5}

2.Tentukan HP dari |2x - 1| = |x + 4|

Jawab :

|2x - 1| = |x + 4|

⇔  2x - 1 = x + 4  atau  2x - 1 = -(x + 4)
⇔  x = 5  atau  3x = -3
⇔  x = 5  atau  x = -1

Jadi, HP = {-1,5}

3.Tentukan himpunan penyelesaian dari |2x - 1| < 7

|2x - 1| < 7  ⇔  -7 < 2x - 1 < 7
|2x - 1| < 7  ⇔  -6 < 2x < 8
|2x - 1| < 7  ⇔  -3 < x < 4

Jadi, HP = {-3 < x < 4}

4.Tentukan himpunan penyelesaian dari |4x + 2| ≥ 6

Jawab :

Berdasarkan sifat c :

|4x + 2| ≥ 6  ⇔  4x + 2 ≤ -6  atau  4x + 2 ≥ 6
|4x + 2| ≥ 6  ⇔  4x ≤ -8  atau  4x ≥ 4
|4x + 2| ≥ 6  ⇔  x ≤ -2  atau  x ≥ 1

Jadi, HP = {x ≤ -2  atau  x ≥ 1}.

5.Tentukan penyelesaian dari |3x - 2| ≥ |2x + 7|

Jawab :

Pertaksamaan yang kedua ruasnya memuat tanda mutlak dapat diselesaikan dengan menguadratkan kedua ruas atau dengan menggunakan sifat :
|a| ≥ |b| ⇔ (a + b)(a - b) ≥ 0

Berdasarkan sifat diatas,

|3x - 2| ≥ |2x + 7|
⇔ ((3x - 2) + (2x + 7)) ((3x - 2) - (2x + 7) ≥ 0
⇔ (5x + 5) (x - 9) ≥ 0

Pembuat nol :

x = -1 atau x = 9

Dengan uji garis bilangan diperoleh

HP = {x ≤ -1  atau  x ≥ 9}

6.Nilai x yang memenuhi persamaan  |x - 2| = 2x + 1 adalah

Jawab :

|x - 2| = x - 2       jika  x ≥ 2
|x - 2| = -(x - 2)   jika  x < 2

Untuk x ≥ 2
|x - 2| = 2x + 1  ⇔  x - 2 = 2x + 1
|x - 2| = 2x + 1  ⇔  -x = 3
|x - 2| = 2x + 1  ⇔  x = -3
Karena x ≥ 2, maka x = -3 tidak memenuhi

Untuk x < 2
|x - 2| = 2x + 1  ⇔  -(x - 2) = 2x + 1
|x - 2| = 2x + 1  ⇔  -x + 2 = 2x + 1
|x - 2| = 2x + 1  ⇔  -3x = -1
|x - 2| = 2x + 1  ⇔  x = 1/3

Karena x < 2, maka x = 1/3 memenuhi

Jadi nilai x yang memenuhi persamaan diatas adalah x = 1/3

7.Nyatakan |x - 4| + |2x + 6| tanpa menggunakan simbol nilai mutlak

Jawab :

|x - 4| = x - 4 jika x ≥ 4
|x - 4| = -(x - 4) jika x < 4
|2x + 6| = 2x + 6 jika x ≥ -3
|2x + 6| = -(2x + 6) jika x < -3
Jika interval-interval diatas digambarkan pada garis bilangan akan diperoleh

Untuk x < -3

|x - 4| + |2x + 6| = -(x - 4) - (2x + 6)
|x - 4| + |2x + 6| = -x + 4 - 2x - 6
|x - 4| + |2x + 6| = -3x - 2

Untuk -3 ≤ x < 4

|x - 4| + |2x + 6| = -(x - 4) + (2x + 6)
|x - 4| + |2x + 6| = -x + 4 + 2x + 6
|x - 4| + |2x + 6| = x + 10

Untuk x ≥ 4

|x - 4| + |2x + 6| = (x - 4) + (2x + 6)
|x - 4| + |2x + 6| = x - 4 + 2x + 6
|x - 4| + |2x + 6| = 3x + 2

Dari uraian diatas, kita simpulkan
$|x-4|+|2x+6|=\{\begin{array}{c}-3x-2jikax<-3\\ -x+10jika-3\le x<4\\ -3x+2jikax\ge 4\end{array}$

8. Tentukan HP dari |x + 1| > 2x - 4

Jawab :

|x + 1| = x + 1       jika  x ≥ -1
|x + 1| = -(x + 1)   jika  x < -1

Untuk x ≥ -1
|x + 1| > 2x - 4  ⇔  x + 1 > 2x - 4
|x + 1| > 2x - 4  ⇔  -x > -5
|x + 1| > 2x - 4  ⇔  x < 5
Irisan dari x ≥ -1 dan x < 5 adalah -1 ≤ x < 5

Untuk x < -1
|x + 1| > 2x - 4  ⇔  -(x + 1) > 2x - 4
|x + 1| > 2x - 4  ⇔  -x - 1 > 2x - 4
|x + 1| > 2x - 4  ⇔  -3x > -3
|x + 1| > 2x - 4  ⇔  x < 1
Irisan dari x < -1 dan x < 1 adalah x < -1

Jadi, HP = {x < -1 atau -1 ≤  x < 5}

             = {x < 5}

Sekian rangkuman materi Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak, 

Terima kasih.